... Mô hình đầu tiên của vũ trụ xây dựng trên cơ sở lý thuyết Thuyết tương đối, được đề xuất bởi chính Anhxtanh trong bài báo công bố vào năm 1917. Đó là một mô hình diễm lệ và tuyệt đẹp mặc dù về sau Anhxtanh buộc phải khước từ nó...

Ngày nay không một nhà vật lý nào còn tranh cãi về thuyết tương đối hẹp, và chỉ còn ít người còn tranh cãi về những cơ sở của thuyết tương đối tổng quát. Thực ra, thuyết tương đối tổng quát đang còn nhiều vấn đề quan trọng vẫn chưa được giải quyết. Không nghi ngờ gì về điều những quan sát và thí nghiệm ủng hộ thuyết này đang còn ít và không phải lúc nào cũng thuyết phục. Nhưng thậm chí dẫu không có được sự khẳng định nào nói chung, thuyết tương đối tổng quát vẫn dường như đầy hấp dẫn phi thường do những đơn giản hóa được đưa vào vật lý học.

Đơn giản hóa ư? Có thể đã có sự lạm dụng từ này đối với một lý thuyết trong đó toán học phát triển được áp dụng đến nỗi có ai đó đã có lần nói rằng dường như trên thế giới có không quá 12 người có thể hiểu được nó (hiển nhiên con số đó bị rút bớt thậm chí vào thời kỳ ý kiến như vậy đã có được sự thừa nhận). Công cụ toán học của thuyết tương đối thực sự phức tạp, song sự phức tạp này cân bằng bởi sự giản đơn hóa phi thường của bức tranh chung. Ví dụ, các kiến giải về lực hấp dẫn và lực quán tính đối với cùng một hiện tượng vừa đủ để làm cho thuyết tương đối tổng quát có chiều hướng hiệu quả nhất khi hình thành quan điểm về thế giới.

Anhxtanh đã phát biểu tư tưởng này vào năm 1921 khi giảng về thuyết tương đối tại trường Đại học Prinxton: "Khả năng giải thích sự bằng nhau bằng con số giữa lựa quan tính và trọng lực bằng sự thống nhất bản chất của chúng tạo cho thuyết tương đối tổng quát, theo biện luận của tôi, nhưng ưu việt trước các quan điểm của cơ học cổ điển, do vậy mà các khó khăn gặp phải ở đây có thể xem là không lớn lắm …"

Cái mà thuyết tương đối có chính là cái mà các nhà toán học ưa gọi là "vẻ kiều diễm". Đó cũng chính là một tác phẩm nghệ thuật. Có lần Lorenxơ đã từng tuyên bố: "Mỗi người hâm mộ cái đẹp đều muốn rằng cái đẹp phải là cái chính xác".

Trong chương này những quan điểm được xác lập cứng rắn của thuyết tương đối sẽ được đặt sang một bên, và bạn đọc được đắm mình vào trong lĩnh vực tranh luận gay gắt, nơi các quan điểm không hơn gì những giả thiết mà phải thừa nhận hoặc bác bỏ trên cơ sở những luận chứng khoa học. Vậy vũ trụ nói chung là gì? Chúng ta đều biết rằng trái đất là hành tinh thứ ba tính từ mặt trời trong hệ thái dương gồm chín hành tinh và mặt trời là một trong hàng trăm tỷ ngôi sao tạo thành thiên hà chúng ta. Chúng ta không biết rằng trong lĩnh vực không gian mà chúng ta có thể thám sát bằng những viễn vọng kính cực mạnh, đã loại ra những thiên hà khác mà số lượng của chúng cũng phải tính đến hàng tỷ. Có tiếp tục điều đó đến vô cùng được chăng? Số lượng thiên hà cũng là vô cùng? Hoặc giả không gian dù sao cũng phải có giới hạn chứ? (Có thể là chúng ta nên nói "không gian của chúng ta", bởi vì nếu không gian của chúng ta có giới hạn thì ai có thể nói rằng không tồn tại những không gian có giới hạn khác?)

Các nhà thiên văn học đang cố gắng để trả lời các câu hỏi đó. Họ đang xây dựng các mô hình vũ trụ - những bức tranh tưởng tượng về thế giới nếu xem nó (thế giới) như một thể thống nhất. Đầu thế kỷ 19 nhiều nhà thiên văn học cho rằng vũ trụ là vô hạn có vô số mặt trời. Không gian được xem là không gian Ơcơlit. Các đường thẳng kéo dài đến vô cùng theo mọi hướng. Nếu có một con tàu vũ trụ khởi hành theo một hướng bất kỳ và chuyển động theo đường thẳng, thì cuộc hành trình của nó hẳn phải kéo dài không giới hạn và không bao giờ đến được đích (giới hạn).

Quan điểm này xuất hiện từ người Hy lạp cổ. Họ ưa nói rằng nếu một người lính ném cán giáo xa mãi trong không gian thì anh ta không thể nào đạt tới điểm dừng, còn nếu có điểm dừng như vậy trong tưởng tượng thì người lính có thể đến được đấy và ném giá xa hơn nữa!

Đã có sự chống đối lại quan điểm này. Nhà thiên văn học người Đức Henric Olbe đã nhận định vào năm 1826 rằng nếu số mặt trời là vô cùng và những mặt trời này được phân bổ trong không gian một cách ngẫu nhiên, thì đường thẳng kẻ từ trái đất theo một hướng bất kỳ cuối cùng phải đi qua một ngôi sao bất kỳ. Điều đó có nghĩa là toàn bộ bầu trời đêm phải là một mặt dầy đặc ra ánh sáng mở ảo. Chúng ta biết rằng điều đó không phải như vậy. Cần suy nghĩ cách giải thích nào đó về bầu trời đêm mờ tối để giải thích cái mà ngày nay người ta gọi là phản đề Olbe.

Đa số các nhà thiên văn cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 cho rằng số mặt trời là hạn chế. Thiên hà của chúng ta, họ khẳng định, chứa toàn bộ mặt trời hiện hữu. Thế còn ngoài thiên hà thì sao? Chẳng có gì cả! (Và chỉ vào giữa những năm 20 của thế kỷ này đã xuất hiện một chứng minh không thể bác bỏ là có hàng triệu thiên hà trải dài cách chúng ta). Những nhà thiên văn khác cho rằng ánh sáng từ các vì sao xa xăm, có thể được thể hiện bằng những dải bụi tinh vân (tinh đoàn).

Các giải thích sắc sảo nhất thuộc về nhà toán học người Thụy điển V. K. Saclơ. Ông nói các thiên hà tập hợp thành tinh đoàn, các tinh đoàn thành siêu tinh đoàn - siêu tinh đoàn thanh siêu - siêu tinh đoàn và cứ như vậy cho đến vô cùng. Ở mỗi cấp độ tập hợp khoảng cách giữa các tinh đoàn phát triển nhanh hơn là kích thước tính toán. Nếu điều đó đúng thì khi tiếp tục vạch đường thẳng càng xa khỏi thiên hà chúng ta xác suất nó gặp thiên hà khác càng nhỏ. Đồng thời chế độ tập hợp tinh đoàn đó là vô cùng, bởi vì giống như trước kia có thể nói rằng vũ trụ chứa một số vô tận các vì sao. Trong các giải thích mà Saclơ dành cho phản đề Olbe không hề có một sai lầm nào ngoại trừ có cách giải thích đơn giản hơn sau đây.

Mô hình đầu tiên của vũ trụ xây dựng, trên cơ sở lý thuyết thuyết tương đối được đề xuất bởi chính Anhxtanh trong bài báo công bố vào năm 1917. Đó là một mô hình diễm lệ và tuyệt đẹp mặc dù về sau Anhxtanh buộc phải khước từ nó. Ở trên đã giải thích rằng các trường trọng lực là những đường cong cấu trúc không gian - thời gian được tạo thành do hiện diện của những khối vật chất lớn. Bên trong mỗi thiên hà, theo đó có nhiều đường cong xoắn tương tự của không gian thời gian. Thế còn các miền lớn của không gian rỗng giữa các thiên hà thì sao? Có một quan điểm như sau. Khoảng cách từ các thiên hà càng lớn thì không gian càng trở nên phẳng hơn (Ơcơlit hơn).

Nếu như vũ trụ là tự do khỏi bất kỳ vật chất nào thì không gian đã hoàn toàn là phẳng: song một số người lại cho rằng trong trường hợp đó nói chung là vô nghĩa khi nói rằng nó có một cấu trúc nào đó. Và cho dù trong trường hợp nào đi nữa vũ trụ của không gian - thời gian cũng được trải ra không hạn chế theo tất cả các hướng. Anhxtanh đã làm một luận giá. Ông nói chúng ta giả thiết rằng khối lương vật chất trong vũ trụ là đủ lớn để bảo đảm cho tỉ suất cong tổng quát là dương. Không gian khi đó co hẹp lại theo tất cả các hướng.

Không thể hiểu hoàn toàn điều đó nếu không đi sâu vào hình học bốn chiều phi Ơcơlit, nhưng có thể nắm bắt tư duy đó dễ dàng nhờ mô hình hai chiều. Ta thử tưởng tượng một đất nước phẳng ở đó chỉ có các thực thể hai số đo. Họ xem đất nước của mình là một mặt phẳng Ơcơlit. Thật vậy, mặt trời của đất nước phẳng là nguyên nhân xuất hiện trên mặt phẳng đó các mô cao khác nhau, nhưng đó chỉ là những mô mang tính địa phương không có ảnh hưởng gì đến độ phẳng chung. Song có một khả năng khác mà các nhà thiên văn của đất nước này có thể mường tượng ra. Có thể là mỗi mô cao ở địa phương tạo ra một tỉ suất cong nhỏ của toàn mặt phẳng bằng cách là tác động tổng cộng của tất cả các mặt trời sẽ dẫn đến sự biến dạng của mặt phẳng đó thành một cái gì đó giống như bề mặt của hình cầu lởm chởm. Bề mặt tương tự càng trở nên vô hạn khiến bạn có thể chuyển động theo bất kỳ hướng nào mãi mãi và không bao giờ đạt tới giới hạn. Người chiến sĩ của đất nước bằng phẳng không thể tìm thấy một chỗ nào xa hơn mãi để anh ta có thể ném mũi dao phẳng của mình. Song bề mặt của đất nước là vô tận. Nhà du hành hoàn thành chuyển đi theo đường thẳng khá lâu, cuối cùng lại trở về chính nơi mình xuất phát.

Các nhà toán học nói rằng bề mặt tương tự là "eo". Tất nhiên là nó không có giới hạn. Giống như không gian Ơcơlit vô tận, tâm của nó ở mọi nơi, không có chu vi. Dân cư của đất nước này dễ dàng tin tưởng các "eo" đó có thuộc tính địa hình như vậy. Một phạm trù đã được nhắc tới: chuyển động xung quanh hình cầu theo mọi hướng. Phương pháp kiểm tra khác là tô màu bề mặt này. Nếu như cư dân của đất nước này xuất phát từ một chỗ nào đấy bắt đầu vẽ các ống tròn ngày càng lớn, cuối cùng nó vẫn ở bên trong vạt trên mặt đối diện của hình cầu. Song hình cầu này lớn và dần chiếm cứ một phần của nó, họ sẽ không có khả năng tiến hành những thử nghiệm địa hình tương tự.

Anhxtanh giả thiết rằng không gian của chúng ta là một mặt ba chiều của một hình cầu biến tướng (hình cầu bốn chiều). Thời gian trong mô hình không bị cong: đó là một tọa độ thẳng chạy về phía sau vào một quá khứ xa xôi vô cùng và trải ra xa đến vô cùng về phía trước không - thời gian bốn chiều, nó sẽ giống như một cấu trúc không - thời gian bốn chiều, nó sẽ giống hình trụ biến tướng nhiều hơn, so với hình cầu biến tướng. Do nguyên nhân đó, mô hình như vậy được gọi là mô hình "vũ trụ hình trụ". Tại bất kỳ thời điểm nào chúng ta sẽ nhìn thấy không gian giống như một mặt cắt ngang ba chiều của một hình trụ biến tướng. Mỗi mặt cắt ngang đều là mặt của hình cầu biến tướng.

Thiên hà của chúng ta chỉ chiếm một phần nhỏ của bề mặt này đến nỗi không thể thực hiện được thí nghiệm về topo ngõ hầu chứng minh được tính chất co hẹp của nó. Nhưng về nguyên tắc, khả năng chứng minh tính chất co hẹp ấy vẫn tồn tại. Đặt một kính viễn vọng đủ mạnh theo một hướng nào đó có thể lấy tiêu cự trên một thiên hà nhất định, sau đó quay kính viễn vọng theo hướng ngược lại sẽ nhìn thấy phía trên cùng của thiên hà đó. Nếu như tồn tại những con tàu vũ trụ có vận tốc gần với vận tốc ánh sáng thì chúng có thể vẽ một vòng tròn quanh vũ trụ, trong khi chuyển động với hướng bất kỳ theo đường thẳng nhất có thể có được. Không thể "tô điểm" vũ trụ theo ngữ nghĩa của từ đó, nhưng có thể về thực chất đúng như vậy khi biên soạn bản đồ hình cầu của vũ trụ với các kích thước ngày càng lớn. Nếu nhà bản đồ học được điều đó đã lâu thì anh ta có thể phát hiện ra rằng anh ta như ở bên trong các hình cầu mà anh ta vẽ bản đồ của nó.

Hình cầu đó sẽ trở nên ngày càng nhỏ đi tùy theo anh ta bám sát vị trí của mình, giống như các vòng tròn bị nhỏ đi khi cư dân của đất nước bằng phẳng vẫn ở bên trong của vạt dấu.

Trong một số quan hệ mô hình phi Ơcơlit của Anhxtanh đơn giản hơn mô hình cổ điển, theo đó không gian không bị uốn cong. Nó đơn giản hơn theo đúng ý nghĩa như có thể nói rằng vòng tròn đơn giản hơn đường thẳng. Đường thẳng trải dài về vô cực theo hai phía, mà vô cực trong toán học thì lại là cái rất phức tạp. Cái tiện lợi của vòng tròn là ở chỗ nó có giới hạn. Nó không có đầu cuối, không ai phải lo lắng về điều là sẽ xảy ra chuyện gì với đường tròn tại vô cực. Trong cái vũ trụ cẩn trọng của Anhxtanh không ai phải quan tâm về tất cả các đầu cuối tự do khi ở vô cực, quan tâm về điều là trong vũ trụ học người ta thích gọi ra "các điều kiện hữu hạn". Trong các vũ trụ trên của Anhxtanh không tồn tại vấn đề giới hạn bởi vì nó không có giới hạn.

Những mô hình vũ trụ khác hoàn toàn phù hợp với thuyết tương đối tổng quát đã được thảo luận vào những năm 20. Một số trong đó có tính chất thậm chí lạ lẫm hơn vũ trụ hình trụ của Anhxtanh. Nhà thiên văn học người Hà lan Villin de Xitơ đã chế ra mô hình co hẹp có giới hạn, trong đó thời gian bị uốn cong giống như không gian. Càng nhìn qua không gian của de Xitơ xa bao nhiêu, đồng hồ dường như càng chạy chậm bấy nhiêu. Nếu nhìn đủ xa có thể nhìn thấy những miền mà thời gian hoàn toàn dừng lại, "giống như tuần trà của gã điên Sliapotkin" - Edington viết - nó luôn luôn là sáu giờ chiều".

...Vào những năm 20, chúng ta đã phát hiện ra rằng, ánh sáng từ các thiên hà ở xa có sự dịch chuyển rõ ràng sang phía đỏ, mà sự di chuyển này không thể có sự giải thích đủ sức thuyết phục khác, ngoài việc cho rằng các thiên hà này chuyển động từ phía trái đất...

Không nhất thiết phải nghĩ rằng đang tồn tại một giới hạn nào đó - Bectơrang Rutxen giải thích trong cuốn "Nhập môn thuyết tương đối".

"Con người đang sống tại một nước mà người quan sát của chúng ta coi là đất nước của lotofagơ (xứ sở của kinh thánh và lễ hội), sống đúng chế độ kiêng cữ giống như chính người quan sát và dường như bản thân anh ta đông cứng lại trong bất động vĩnh cửu. Trên thực tế bạn không bao giờ nhận biết về xứ sở của các lotofagơ này, bởi vì cần phải có một thời gian lớn vô cùng để ánh sáng từ đó đi đến với bạn. Bạn có thể nhận biết về những nơi ở không xa chỗ đó nhưng chính nó lại luôn luôn là chân trời". Tất nhiên, nếu bạn thường về miền này trên một con tàu vũ trụ, dùng kính viễn vọng quan sát thường xuyên, bạn hẳn nhìn thấy rằng tiếp theo mức độ đến gần đường đi của thời gian ở đó cũng dần dần giảm tốc.

Khi bạn đến nơi, mọi thứ sẽ chuyển động với vận tốc bình thường. Trái đất của các lotofagơ giờ đây sẽ ở mép của chân trời mới.

Bạn có chú ý rằng khi máy bay bay thấp trên đầu, bay lên cao độ cao âm thanh động cơ có giảm đi liền một chút không? Người ta gọi đó là hiệu ứng Dople theo tên gọi của nhà vật lý học người Áo theo đạo thiên chúa tên là Johan Dople, người phát hiện ra hiệu ứng này vào giữa thế kỷ 19.

Nó càng dễ giải thích, khi máy bay tiến lại gần, thì sóng âm thanh từ động cơ làm dao động màng trong nhiều hơn là khi máy bay không chuyển động. Điều đó làm tăng độ cao của âm thanh. Khi máy bay đi xa tần suất dao động âm thanh mà tai bạn cảm nhận được càng ít đi. Âm thanh trở nên thấp.

Chính là sự tuyệt đối như vậy xuất hiện trong trường hợp khi nguồn ánh sáng chuyển động nhanh về phía các bạn hoặc tách khỏi các bạn. Đồng thời cái không đổi phải là vận tốc ánh sáng (luôn luôn là không đổi), chứ không phải là độ dài sóng của nó. Nếu như bạn và nguồn sóng chuyển động ngược chiều nhau, thì hiệu ứng Dople làm ngắn chiều dài của sóng ánh sáng, đồng thời di động màu về phía đầu tấm của quang phổ. Nếu như bạn và nguồn sáng xa nhau thì hiệu ứng Dople cho một sự di động tương tự về phía quang phổ màu đỏ.

Gamop ở một trong những bài giảng đã kể lịch sử (không nghi ngờ gì nữa mà là một giai thoại) với hiệu ứng Dôple, một hiệu ứng quá tốt để khỏi phải dãn nó ra đây. Điều đó xảy ra, dường như, bởi một nhà vật lý học nổi tiếng người Mỹ từ trường đại học Giôn Hôpkin, Rơbe Vut, người kiên trì ở Bantimo về sự chuyển dần sang ánh sáng màu đỏ. Trước trọng tài, Vut trên cơ sở hiệu ứng Dôple đã giải thích rõ ràng rằng do vận tốc lớn của chuyển động mà xuất hiện sự chuyển dịch màu đỏ sang màu tím của quang phổ, do đó mà anh ta đã cảm thụ như màu xanh.

Trọng tài nghiêng về biện luận của Vut nhưng lại bất ngờ có một sinh viên của Vut mà cách đây không lâu Vut đã đánh trượt. Anh ta tính nhanh ra vận tốc cần phải có để ánh lửa đèn chiếu từ màu đỏ thành màu xanh. Trọng tài từ chối việc quy lỗi ban đầu và phạt Vut vì vượt quá tốc độ.

Dôple nghĩ rằng hiệu ứng phát hiện giải thích màu thấy được của các vì sao xa xăm: các ngôi sao màu đỏ phải chuyển động từ phía trái đất, các ngôi sao màu xanh da trời thì về phía trái đất. Như đã thấy vấn đề không phải như vậy (những màu này được giải thích bởi những nguyên nhân khác). Vào những năm 20 của thế kỷ, chúng ta đã phát hiện ra rằng, ánh sáng từ các thiên hà ở xa có sự dịch chuyển rõ ràng sang phía đỏ mà sự di chuyển này không thể giải thích đủ sức thuyết phục khác hơn là cho rằng các thiên hà này chuyển động từ phía trái đất. Hơn nữa sự di chuyển đó tăng lên trung bình tỷ lệ với khoảng cách từ thiên hà đến trái đất. Nếu như đến thiên hà A xa hơn hai lần so với đến thiên hà B, từ sự di chuyển từ A lớn hơn chúng hai lần của sự di chuyển màu đỏ từ B: Theo khẳng định của nhà thiên văn học người Anh Fret Hoy sự di chuyển màu đỏ đối với tính toán trong chòm sao quả tạ (Hyđia) chứng minh rằng tinh đoàn đó đi xa trái đất với vận tốc lớn bằng khoảng 61000 km/giây.

Người ta đã tìm cách giải thích khác nhau không phải bằng hiệu ứng Dôple, mà bằng phương pháp khác nào đó. Theo lý thuyết "mệt mỏi ánh sáng" thì ánh sáng càng đi xa, tần số dao động của nó càng nhỏ (Đó là một dẫn dụ tuyệt vời của giả thuyết ad hoc, tức của giả thuyết chỉ liên quan với hiện tượng thường xuyên đó, bởi vì không có một minh chứng khác có lợi cho nó). Có cách giải thích khác cho rằng ánh sáng đi qua lớp bụi vũ trụ sẽ dẫn đến xuất hiện sự di chuyển. Trong mô hình của de Xitơ sự di chuyển đó thấy được rất rõ từ tỉ suất cong của thời gian. Nhưng sự giải thích đơn giản nhất phù hợp tốt nhất với thực tế đã biết khác là ở chỗ, sự di chuyển màu đỏ trên thực tế minh chứng về sự chuyển động có thực của các thiên hà. Xuất phát từ tiền đề đó mà chẳng bao lâu đã phát triển một seri mới các mô hình "vũ trụ mở rộng".

... Để đề phòng sự cuốn hút của vũ trụ từ các lực có trước và sự diệt vong của nó, Anhxtanh buộc phải giả thiết cho mô hình của mình rằng còn một lực nữa (ông đưa vào mô hình này một tên gọi là lực thường xuyên của vũ trụ) mà vai trò của nó là đẩy và giữ các vì sao ở một khoảng cách nhất định với nhau...

Song sự mở rộng này không có nghĩa là chính các thiên hà tự mở rộng (dãn nở) hoặc là (như bây giờ người ta cho rằng như vậy) khoảng cách giữa các thiên hà trong các tính toán tăng lên. Như mọi người đều biết, sự mở rộng này kéo theo sự tăng lên của khoảng cách giữa các tính toán. Các bạn hãy hình dung một đống bột lớn trong đó bao gồm hàng trăm hạt Izumin. Mỗi hạt Izumin là một tinh đoàn. Nếu đống bột đó đưa vào lò, nó sẽ dãn nở đều theo mọi hướng, nhưng kích cỡ của Izumin vẫn như cũ. Khoảng cách giữa các Izumin tăng lên. Không một Izumin nào được gọi là trung tâm của sự dãn nở. Từ quan điểm về hạt Izumin riêng lẻ bất kỳ các hạt Izumin càng lớn vận tốc biểu kiến về sự tách xa của nó càng lớn.

Mô hình vũ trụ của Anhxtanh là tĩnh. Điều đó được giải thích rằng ông đã phát triển mô hình này trước khi các nhà thiên văn học phát hiện ra sự dãn nở (mở rộng) của vũ trụ. Để đề phòng sự cuốn hút của vũ trụ từ các lực từ trước và sự diệt vong của nó, Anhxtanh buộc phải giả thiết cho mô hình của mình rằng còn một lực nữa (ông đưa vào mô hình của mình với tên gọi là lực thường xuyên của vũ trụ) mà vai trò của nó là đẩy và giữ các vì sao ở một khoảng cách nhất định với nhau. Những tính toán sau này được thực hiện đã chỉ ra rằng mô hình của Anhxtanh là không ổn định tựa như đồng tiền đứng nghiêng. Một tác động rất nhỏ sẽ làm nó đổ về bên phải hoặc bên trái, mà đổ về bên phải thì ứng với vũ trụ giãn nở, mà đổ về bên trái thì ứng với vũ trụ co rút. Sự phát hiện ra di động màu đỏ đã chỉ ra rằng vũ trụ trong bất kỳ trường hợp nào đều không bị co rút, các nhà vũ trụ học thiên về các mô hình vũ trụ dãn nở.

Người ta đã xây dựng các mô hình toàn năng về vũ trụ dãn nở. Như nhà bác học Liên xô (cũ) Alecxăngđrơ Phơnitman và giáo sĩ người Bỉ tên là Gioocgiơ Lemét đã xây dựng nên hai mô hình nổi tiếng nhất. Có mô hình không gian được xem là co rút (tỉ suất cong là dương), mô hình khác lại xem là không co rút (tỉ suất cong là âm), ở mô hình thứ ba vấn đề về sự co rút không gian lại để ngỏ. Một trong những mô hình được Edington đề nghị và đã được mô tả trong cuốn sách khá hấp dẫn có tên là "Vũ trụ giãn nở". Mô hình của ông về thực hành rất giống với mô hình của Anhxtanh, nó bị co rút, giống như quả cầu bốn chiều lớn và dãn nở đều theo cả ba số đo về không gian. Song, hiện nay các nhà thiên văn không tin rằng không gian bị co rút. Như mọi người đều biết mật độ vật chất trong không gian không đủ để tỉ suất cong là dương. Các nhà thiên văn ưa quan niệm vũ trụ là không bị co rút hoặc vũ trụ vô cùng với tỉ suất cong tổng quát là số âm giống như bề mặt của yên ngựa.

Bạn đọc không nên nghĩ rằng nếu bề mặt hình cầu có tỉ suất cong là dương, thì bên trong bề mặt này sẽ có tỉ suất cong là âm. Tỉ suất cong của mặt hình cầu là dương không phụ thuộc vào điều là nhìn nó từ phía nào, từ ngoài vào hay từ trong ra ngoài - tỉ suất cong âm của bề mặt yên ngựa là do tại một điểm bất kỳ của nó bề mặt này có tỉ suất cong khác nhau. Nó là lõm nếu bạn kẻ trên đó bằng tay từ phần sau sang phần trước, và lồi nếu bạn kẻ tay từ mép này sang mép khác. Tỉ suất cong này được biểu thị bằng số dương, tỉ suất cong khác laị biểu thị bằng số âm.

Để có được tỉ suất cong của mặt này tại điểm đã biết hai số này cần được nhân lên. Nếu tại mọi điểm số đó là âm, như cần phải có khi bề mặt tại điểm bất kỳ bị cong theo kiểu khác thì người ta nói rằng bề mặt đó có tỉ suất cong là âm. Bề mặt khoanh tròn (hình cái trống) là một thí dụ nổi tiếng khác của bề mặt có tỉ suất cong âm. Tất nhiên các bề mặt tương tự là những mô hình thô sơ của không gian ba chiều có tỉ suất cong âm.

Có thể là với sự xuất hiện của các kính thiên văn công suất lớn hơn người ta sẽ phải giải quyết vấn đề xem là tỉ suất cong nào của vũ trụ là dương, là âm hoặc bằng không. Kính viễn vọng cho phép nhìn thấy các thiên hà chỉ là trong một dựng khối mặt cầu nhất định. Nếu các thiên hà được phân bố một cách ngẫu nhiên và nếu không gian là Ơcơlit (tỉ suất cong bằng không) thì số thiên hà bên trong mặt cầu tương tự phải luôn luôn tỉ lệ với lập phương bán kính của mặt cầu này. Nói cách khác, nếu xây dựng một kính thiên văn có thể nhìn xa gấp đôi so với bất kỳ kính thiên văn nào trước đó thì số thiên hà nhìn thấy được phải tăng lên từ năm đến 8. Nếu bước nhảy đó là nhỏ hơn thì điều đó có nghĩa là tỉ suất cong của vũ trụ là số dương, nếu lớn hơn thì là số âm.

Có thể nghĩ rằng cần phải là ngược lại, nhưng chúng ta hãy xem xét trường hợp của mặt hai số đo với tỉ suất cong là dương và âm. Giả sử từ một tấm cao su phẳng ta cất một vòng tròn. Trên đó dán các Izumin cách nhau nửa cm một. Để cho tấm cao su đó có hình dạng mặt cầu, cần ép nó lại và các 1/umin càng xích lại gần nhau hơn. Nói khác đi, nếu trên bề mặt hình cầu các Izumin cách nhau nửa cm một thì cần số Izumin ít hơn.

Còn nếu trải tấm cao su lên mặt yên ngựa thì các Izumin dãn ra trên khoảng cách lớn, tức là muốn trên bề mặt yên ngựa giữ khoảng cách giữa các Izumin nửa cm thì phải có nhiều Izumin hơn. Hơi có vấn đề đạo đức ở chỗ này khi nói vui rằng nếu bạn muốn mua một chai bia, bắt buộc bạn phải nói với người bán hàng rằng bạn muốn mua một chai bia có không gian cong là âm, chứ không phải là dương!